تمرین ۱ صفحه ۱۸ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۱. گزاره‌های زیر را به صورت نماد ریاضی بازنویسی کنید.
الف) دو برابر جذر عددی برابر خودش است.
ب) مکعب یک عدد، بزرگ‌تر از هفت برابر آن عدد، به علاوهٔ پنج است.
پ) مجموع معکوس‌های دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی مجموع آن دو عدد است.
ت) مجموع مکعبات دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی مکعب مجموع آن دو عدد است.
ث) هر عدد ناصفری از معکوس خود بزرگ‌تر یا مساوی با آن است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۸ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین به شما کمک می‌کند تا مفاهیم ریاضی را از **زبان فارسی به زبان نمادین** ترجمه کنید. این کار پایهٔ اصلی حل مسائل و اثبات قضایا است.
### الف) دو برابر جذر عددی برابر خودش است.
* **عدد:** $\text{x}$ (باید $\text{x} \ge 0$ باشد تا جذر تعریف شود.)
* **جذر عددی:** $\sqrt{\text{x}}$
* **دو برابر جذر عددی:** $2\sqrt{\text{x}}$
* **برابر خودش:** $= \text{x}$
**نماد ریاضی:**
$$2\sqrt{\text{x}} = \text{x}$$
### ب) مکعب یک عدد، بزرگ‌تر از هفت برابر آن عدد، به علاوهٔ پنج است.
* **عدد:** $\text{x}$
* **مکعب یک عدد:** $\text{x}^3$
* **هفت برابر آن عدد:** $7\text{x}$
* **هفت برابر آن عدد به علاوهٔ پنج:** $7\text{x} + 5$
* **بزرگ‌تر از:** $>$
**نماد ریاضی:**
$$\text{x}^3 > 7\text{x} + 5$$
### پ) مجموع معکوس‌های دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی مجموع آن دو عدد است.
* **دو عدد:** $\text{x}$ و $\text{y}$
* **معکوس‌های دو عدد:** $\frac{1}{\text{x}}$ و $\frac{1}{\text{y}}$
* **نکته:** باید $\text{x} \ne 0$ و $\text{y} \ne 0$ باشند.
* **مجموع معکوس‌ها:** $\frac{1}{\text{x}} + \frac{1}{\text{y}}$
* **مجموع آن دو عدد:** $\text{x} + \text{y}$
* **بزرگ‌تر یا مساوی:** $\ge$
**نماد ریاضی:**
$$\frac{1}{\text{x}} + \frac{1}{\text{y}} \ge \text{x} + \text{y}$$
### ت) مجموع مکعبات دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی مکعب مجموع آن دو عدد است.
* **دو عدد:** $\text{x}$ و $\text{y}$
* **مکعبات دو عدد:** $\text{x}^3$ و $\text{y}^3$
* **مجموع مکعبات:** $\text{x}^3 + \text{y}^3$
* **مکعب مجموع آن دو عدد:** $(\text{x} + \text{y})^3$
* **بزرگ‌تر یا مساوی:** $\ge$
**نماد ریاضی:**
$$\text{x}^3 + \text{y}^3 \ge (\text{x} + \text{y})^3$$
### ث) هر عدد ناصفری از معکوس خود بزرگ‌تر یا مساوی با آن است.
* **عدد ناصفر:** $\text{x}$ (با شرط $\text{x} \ne 0$)
* **معکوس خود:** $\frac{1}{\text{x}}$
* **بزرگ‌تر یا مساوی با آن (معکوس خود):** $\text{x} \ge \frac{1}{\text{x}}$
**نماد ریاضی:**
$$\forall \text{x} \ne 0: \text{x} \ge \frac{1}{\text{x}}$$
**نکته پایانی:** گزاره‌هایی مانند 'پ'، 'ت' و 'ث' در واقع **گزاره‌نما** هستند و باید در مورد درستی آن‌ها در مباحث آینده صحبت کنیم، اما فعلاً ترجمه نمادین آن‌ها کفایت می‌کند.
تمرین ۲ صفحه ۱۸ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۲. در هر مورد گزاره‌ای همراه با یک استدلال نادرست برای آن داده شده است. دلیل نادرستی استدلال را بیان کنید.
الف) اگر طول و عرض یک مستطیل را دو برابر کنیم، آنگاه مساحت آن نیز دو برابر می‌شود.
\begin{itemize}
\item $\text{x}$: طول
\item $\text{y}$: عرض
\item $\text{S} = \text{xy}$: مساحت
\end{itemize}
استدلال: مساحت دو برابر شده است. $\text{S} = 2\text{xy} \leftarrow \text{S}' = 2\text{xy}$
ب) در یک مثلث قائم‌الزاویه به اضلاع قائمه $\text{a}$ و $\text{b}$ و وتر $\text{c}$، همانند شکل زیر اگر ضلع $\text{a}$ را دو برابر کنیم، آنگاه وتر آن نیز دو برابر می‌شود.
تصویر: دو مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع: اولی $(\text{a}, \text{b}, \text{c})$ و دومی $(\text{2a}, \text{b}, \text{c}')$
استدلال: می‌دانیم در مثلث قائم‌الزاویه بالا قضیه فیثاغورث به صورت زیر برقرار است:
$$ \text{c}^2 = \text{a}^2 + \text{b}^2 $$
اکنون این رابطه را برای مثلث قائم‌الزاویه جدید نیز می‌نویسیم:
$$ \text{c}'^2 = (2\text{a})^2 + \text{b}^2 = 4\text{a}^2 + \text{b}^2 \stackrel{\text{جذر}}{\Longrightarrow} \text{c}' = 2\text{c} $$
پ) $\sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{9}}$ تساوی $\sqrt{11 \times 2}$ برقرار است.
استدلال:
$$ \sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{9}} = \sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{2 \times 3}} = \sqrt{\frac{12}{2} + \frac{4 \times 16}{3}} = \sqrt{6 + \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{18 + 64}{3}} = \sqrt{\frac{82}{3}} \approx \sqrt{27.3} \ne \sqrt{22} $$
\textbf{(خطای در تصویر اصلی سوال وجود دارد که جواب نهایی نادرست است. ما اشتباه در استدلال دانش‌آموز را پیدا می‌کنیم.)}
\textbf{استدلال داده شده در تصویر:}
$$\sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{9}} = \sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{2 \times 3}} = \sqrt{\frac{12 \times 3}{2 \times 3} + \frac{4 \times 16}{2 \times 3}} = \sqrt{\frac{12}{2} + \frac{4 \times 16}{3}} = \sqrt{6 + \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{18 + 64}{3}} = \sqrt{\frac{82}{3}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۸ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین درباره تشخیص **اشتباه در استدلال‌های ریاضی** است. یک استدلال نادرست، حتی اگر گزاره اولیه درست یا نادرست باشد، منجر به نتیجه‌گیری نامعتبر می‌شود. باید دقیقاً محل خطای جبری یا منطقی را مشخص کنیم.
---
### الف) گزاره مساحت مستطیل
**گزاره:** اگر طول و عرض یک مستطیل را دو برابر کنیم، مساحت آن نیز دو برابر می‌شود.
**استدلال نادرست:** مساحت دو برابر شده است. $\text{S} = 2\text{xy} \leftarrow \text{S}' = 2\text{xy}$
1. **مساحت اولیه:** $\text{S} = \text{xy}$
2. **طول و عرض جدید:** $\text{x}' = 2\text{x}$ و $\text{y}' = 2\text{y}$
3. **مساحت جدید (S'):** $\text{S}' = \text{x}'\text{y}' = (2\text{x})(2\text{y}) = 4\text{xy}$
**دلیل نادرستی استدلال:**
* اشتباه این استدلال در **نتیجه‌گیری** است. هنگامی که طول و عرض را دو برابر می‌کنیم، مساحت **چهار برابر** می‌شود ($\text{S}' = 4\text{S}$)، نه دو برابر. در واقع، در این استدلال، دانش‌آموز اشتباه کرده و $\text{xy}$ را دو برابر در نظر گرفته، در حالی که $\text{xy}$ مساحت اولیه است و باید $4\text{xy}$ باشد.
* **نتیجه‌گیری صحیح:** مساحت مستطیل **۴ برابر** می‌شود.
---
### ب) گزاره قضیه فیثاغورث
**گزاره:** اگر یک ضلع قائمه را دو برابر کنیم، وتر نیز دو برابر می‌شود.
**استدلال نادرست:** $\text{c}'^2 = 4\text{a}^2 + \text{b}^2 \stackrel{\text{جذر}}{\Longrightarrow} \text{c}' = 2\text{c}$
1. **مثلث اصلی:** $\text{c}^2 = \text{a}^2 + \text{b}^2$
2. **مثلث جدید:** $\text{c}'^2 = (2\text{a})^2 + \text{b}^2 = 4\text{a}^2 + \text{b}^2$
3. **خطا در جذرگیری:** استدلال از اینجا دچار اشتباه می‌شود: $\sqrt{4\text{a}^2 + \text{b}^2} \ne 2\text{a} + \text{b}$ یا $\ne 2\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2}$
**دلیل نادرستی استدلال:**
* **خطای اصلی، اشتباه در قانون جمع رادیکال‌ها است.** نمی‌توان در زیر رادیکال، جملاتی که با علامت جمع (+) یا تفریق (-) از هم جدا شده‌اند را جداگانه جذر گرفت.
* $\sqrt{\text{A} + \text{B}} \ne \sqrt{\text{A}} + \sqrt{\text{B}}$
* بنابراین، $\text{c}' = \sqrt{4\text{a}^2 + \text{b}^2}$. چون $4\text{a}^2 + \text{b}^2 \ne 4(\text{a}^2 + \text{b}^2)$ (مگر $\text{b} = 0$)، پس $\text{c}' \ne 2\text{c}$.
---
### پ) گزاره تساوی رادیکالی
**گزاره:** $\sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{9}}$ تساوی $\sqrt{11 \times 2}$ برقرار است. (یعنی $\sqrt{\frac{36 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ با $\sqrt{22} \approx 4.69$ برابر است. که نادرست است.)
**استدلال نادرست (مراحل خطادار):**
$$\sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{9}} = \sqrt{\frac{12 \times 3 + 4 \times 16}{2 \times 3}} = \sqrt{\frac{12 \times 3}{2 \times 3} + \frac{4 \times 16}{2 \times 3}}$$
**دلیل نادرستی استدلال:**
* **خطای اصلی در گام اول است.** دانش‌آموز مخرج کسر ($\\text{9}$) را به اشتباه به صورت حاصل ضرب $2 \times 3$ نوشته است.
* $9 \ne 2 \times 3$
* **خطای دوم (در صورت ادامه):** در گام بعد، دانش‌آموز از قانون توزیع‌پذیری اشتباهی استفاده کرده و $\frac{\text{a} + \text{b}}{\text{c}}$ را به صورت $\frac{\text{a}}{\text{c}} + \frac{\text{b}}{\text{c}}$ نوشته (که درست است)، اما در کسر اول $\frac{12 \times 3}{2 \times 3}$ به اشتباه $\times 3$ را ساده کرده که نادرست است.
* **گام صحیح باید این باشد:** $\sqrt{\frac{36 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$.
